The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition

Summary. We consider a Galton-Watson tree with offspring distribution $\nu$ of finite mean. The uniform measure on the boundary of the tree is obtained by putting mass 1 on each vertex of the n-th generation and taking the limit $n \rightarrow \infty$. In the $E[\nu \ln(\nu)] <\infty$, this measure has been well studied, and it is known that the Hausdorff dimension of the measure is equal to $\ln(m)$ ([2], [9]). $E[\nu \ln(\nu)] = \infty$, we show that the dimension drops to 0. This answers a question of Lyons, Pemantle and Peres [10]. Résumé. Nous considérons un arbre de Galton-Watson dont le nombre d'enfants $\nu$ a une moyenne finie. La mesure uniforme sur la frontière de l'arbre s'obtient en chargeant chaque sommet de la n-ième génération avec une masse 1, puis en prenant la limite $n \rightarrow \infty$. Dans le cas $E[\nu \ln(\nu)] <\infty$, cette mesure a été très étudiée, et l'on sait que la dimension de Hausdorff de la mesure est égale à $\ln(m)$ ([2], [9]). Lorsque $E[\nu \ln(\nu)] = \infty$, nous montrons que la dimension est 0. Cela répond à une question posée par Lyons, Pemantle et Peres [10]. Keywords: Galton-Watson tree, Hausdorff dimension.