Finite antenna arrays : an eigencurrent approach

Radar, voluit ‘radio detection and ranging’, wordt gebruikt voor velerlei doeleinden, zoals het regelen van luchtverkeer, het doen van snelheidsmetingen in het verkeer, en het lokaliseren en volgen van schepen en vliegtuigen. Het principe van radar is gebaseerd op het fenomeen dat metalen objecten radiogolven reflecteren. De radiogolven worden uitgezonden en ontvangen door de antenne van een radarsysteem. Het ontwerp van een dergelijke antenne kent twee hoofddoelen: de energie die in de antenne in de vorm van electromagnetische straling opgewekt wordt, moet in een specifieke richting worden uitgestraald en de energie-overdracht van bron naar elektromagnetische straling moet optimaal zijn. Voorbeelden van antenne types zijn draadantennes, paraboolantennes, en antenne-arrays. Antenne-arrays bestaan uit separate antennes, die elementen worden genoemd. Het aantal elementen varieert van een tiental tot vele honderden. In veel gevallen hebben de elementen dezelfde vorm en zijn geordend in een regelmatige geometrie. Antenne-arrays hebben als groot voordeel boven andere antenne-types dat zij de gebruiker de mogelijkheid bieden de bundel van elektromagnetische straling te besturen door middel van faseverschillen tussen de elementen. Deze bundel is vergelijkbaar met een lichtbundel bij toneelvoorstellingen, maar is onzichtbaar voor het menselijk oog. De elektronische besturing kan vrijwel instantaan worden bewerkstelligd, dit in tegenstelling tot mechanische besturing van de bundel. Aan elektronische besturing danken antenne-arrays hun multifunctionaliteit die onder meer bestaat uit scannen van het luchtruim, volgen van doelen, en leiden van raketten naar een doel. Het ontwerp en de ontwikkeling van radarsystemen is complex en kostbaar. Om de kosten en risico’s bij het ontwerp te verkleinen, en om de prestatie van systemen te verbeteren, gebruikt men simulaties. Simulaties moeten voldoen aan een aantal criteria: ze moeten snel uitvoerbaar zijn, ze moeten randeffecten tonen alsmede effecten van mutuele elektromagnetische koppeling tussen de elementen, en ze moeten in grote nauwkeurigheid de prestatieparameters bepalen. Simulaties gebaseerd op de oneindige array aanpak en simulaties gebaseerd op de eindige elementen methode voldoen niet aan deze criteria. Eerstgenoemde beschrijven geen randeffecten en laatstgenoemde leiden tot trage berekeningen. Geen van deze simulaties geeft direct inzicht in de fysica die relevant is voor het ontwerp. In dit proefontwerp stellen we een aanpak voor die voldoet aan bovengenoemde criteria en bovendien inzicht verschaft in de fysica. Deze aanpak kan de nadelige en desastreuze invloed van staande golven op de prestatie van eindige arrays voorspellen en geeft aan hoe dit gedrag kan worden voorkomen voor het hele scanbereik van het array. De aanpak van dit proefontwerp is getest op lijnarrays met regelmatige geometrie, waarbij de elementen rechthoekige microstrips of ringvormige microstrips zijn. In beide gevallen zijn de arrays gepositioneerd in de vrije ruimte of boven een geleidend oppervlak. In tegenstelling tot de lengte en omtrek van de microstrips is hun breedte klein ten opzichte van de golflengte. Richtlijnen voor het toepassen van de aanpak op andere array-geometrie¨en met andere element-geometrie¨en en op arrays waarbij kleine verschillen tussen de elementen bestaan, worden uitvoerig beschreven. In de voorgestelde aanpak wordt het gedrag van een eindig array beschreven door zijn eigentrillingen of eigenstromen. Deze eigenstromen zijn de eigenfuncties van de impedantie-operator die de stromen op de elementen relateert aan hun excitatievelden, afkomstig van bijvoorbeeld een invallende golf of van lokale bronnen. Uit fysisch oogpunt zijn de eigenstromen staande golven van het array. De bijbehorende eigenwaarden representeren de karakteristieke impedanties van de eigenstromen. Hoe groter de karakteristieke impedantie van een eigenstroom, des te minder zal deze eigenstroom bijdragen aan de stroom op de elementen bij een gegeven excitatieveld. Het concept eigenstroom blijkt uitermate geschikt voor het ontwerpen van arrays, omdat de ontwerp-karakteristieken waarnaar men ontwerpt ´e´en-op-´e´en gerelateerd zijn aan de excitatie van specifieke eigenstromen. Uit dit proefontwerp blijkt dat eigenstromen en hun bijbehordende eigenwaarden ´e´en-op-´e´en gerelateerd zijn aan scanbundels, aan monopulsbundels, aan gratingbundels, aan gemoduleerde impedantie-oscillaties, aan impedantievariaties toegeschreven aan oppervlaktegolven van de arraystructuur, en aan veel andere eigenschappen van het array. Behoudens een fysische interpretatie blijkt de aanpak met eigenstromen te leiden tot snel uit te voeren simulaties; immers, hoewel de prestatieparameters van een array veranderen als functie van de geometrieparameters en de frequentie, veranderen de eigenstromen nauwelijks. In feite veranderen alleen de eigenwaarden, zij het regelmatig, als functie van geometrieparameters en de frequentie. Derhalve kunnen de eigenstromen verkregen voor een zekere keuze van parameters vastgelegd worden om ze vervolgens te gebruiken voor simulaties bij andere parameterwaarden. De bijbehorende eigenwaarden worden benaderd middels het Rayleigh-Ritz quotient. Uitgangspunt van de voorgestelde aanpak is het bepalen van de eigenstromen van een element en de bijbehorende eigenwaarden. De eigenstromen en eigenwaarden worden berekend uit een ‘genormaliseerde’ momentenmatrix gerelateerd aan gekozen ontwikkelfuncties voor de stroom op het element. Vervolgens wordt een inproduct bepaald ten opzichte waarvan deze element-eigenstromen orthonormaal zijn. De bijbehorende momenten matrix in termen van deze eigenstromen is een diagonaal matrix ten opzichte van het nieuwe inproduct. In de tweede stap wordt een gereduceerde momenten matrix berekend ten opzichte van de samenstelling van SAMENVATTING 267 de nieuwe element-inproducten, waarbij de ontwikkelfuncties de eigenstromen per element zijn. Alleen eigenstromen die bijdragen aan de mutuele koppeling in het array worden in rekening gebracht. Omdat deze eigenstromen a priori niet bekend zijn, wordt eerst het aantal koppelende element-eigenstromen geschat aan de hand van het gedrag van de element-eigenwaarden. Element-eigenstromen met grote eigenwaarden, zullen niet of nauwelijks bijdragen aan de mutuele koppeling. Het resultaat van de tweede stap zijn de array-eigenstromen die beschreven zijn als concatenaties van lineaire combinaties van koppelende element-eigenstromen. De arrayeigenstromen en hun bijbehorende eigenwaarden zijn verdeeld in groepen, waarbij elke groep correspondeert met ´e´en element-eigenstroom, de zogenoemde dominante element-eigenstroom van de groep. De eigenwaarden in een groep zijn perturbaties van de eigenwaarde van de dominante element-eigenstroom. Deze perturbaties zijn niet noodzakelijk klein. Hun spreiding blijkt een kwantitatieve maat te zijn voor de mutuele koppeling in het array. Als de spreiding van een groep klein is, hoeft de koppeling van deze groep met zichzelf en met andere groepen niet in rekening te worden gebracht. A posteriori kan dus aan de hand van de spreidingen bepaald worden of voldoende element-eigenstromen in rekening zijn gebracht voor het beschrijven van mutuele koppeling. Numerieke simulaties laten zien dat met ´e´en of twee groepen van koppelende eigenstromen de mutuele koppeling in arrays, opgebouwd uit elementen die typisch ontworpen zijn voor de excitatie van ´e´en specifieke eigenstroom, beschreven kan worden. Door het verwaarlozen van mutuele koppeling worden tijdwinsten van een factor 10 tot een factor 50 geboekt ten opzichte van de conventionele momenten methode. De spreiding is tevens een kwantitatieve maat om het aantal buren van een element te bepalen dat moet worden meegenomen om mutuele koppeling te beschrijven. Het verwaarlozen van koppeling tussen buren leidt tot een verdere reductie van de rekentijd. Nadere bestudering van de eigenstromen van lijnarrays bestaande uit ringen en strips heeft tot een tweetal belangrijke observaties geleid. Ten eerste hangen de co¨effici¨enten van de dominante element-eigenstroom in elke groep niet of nauwelijks af van de elementvorm. Op grond van deze observatie blijkt dat een eerste orde schatting van het gedrag van lijnarrays met complexe elementen wordt beschreven door de co¨effici¨entverdelingen van de eigenstromen van lijnarrays met eenvoudiger elementen. Ten tweede vertonen de co¨effici¨enten van de dominante element-eigenstroom dezelfde patronen als de co¨effici¨enten van de eigenstromen van ´e´en strip verkregen met stuksgewijs lineaire functies. Op grond van deze observatie blijkt een eerste orde schatting van het gedrag van lijnarrays met complexe elementen te worden beschreven door de co¨effici¨entverdelingen van de eigenstromen van ´e´en strip met stuksgewijze functies. Verwacht wordt dat de co¨effici¨entverdelingen van de eigenstromen van een rechthoekige patch kunnen worden gebruikt voor een eerste orde schatting van het gedrag van een rechthoekig array. Uit de tweede observatie leiden we af dat een array ´e´en geheel is en niet een verzameling van losse elementen. Het mag beslist niet onvermeld blijven dat het karakteristieke gedrag van arrays wordt veroorzaakt door resonant gedrag en dat resonant gedrag wordt veroorzaakt door de excitatie van specifieke eigenstromen. De eigenwaarden, of karakteristieke impedanties, van deze eigenstromen zijn klein in vergelijking met de eigenwaarde die hoort bij de scanbundel. Zowel gemoduleerde impedantie-oscillaties als variaties van elementimpedanties toegeschreven aan oppervlaktegolven van de arraystructuur worden veroorzaakt door de excitatie van eigenstromen met relatief kleine eigenwaarden. De verdeling in de groep met de laagste eigenwaarden voorspelt welke belasting van het systeem nodig is om resonant gedrag te vermijden. Tot besluit vermelden we dat de relevantie van het concept eigenstroom in dit proefontwerp aangetoond wordt aan de hand van een aantal specifieke fysische effecten die in de praktijk van het antenneontwerp zijn waargenomen.