Verrassende wiskunde bij de Olympiade

Elk schooljaar doen er 30 leerlingen mee aan de landelijke training voor de Internationale Wiskunde Olympiade, die elke zomer in een ander land plaats vindt. Tijdens deze training krijgen de leerlingen veel nieuwe theorie, van modulorekenen en de kleine stelling van Fermat tot de concurrentiestelling van Ceva. Maar behalve deze `hogere wiskunde’, komen ook elementaire bewijsprincipes ruimschoots aan bod. Een voorbeeld is het ladenprincipe: als je n+1 balletjes in n laatjes stopt, dan is er ten minste één laatje dat meer dan één balletje bevat. Ook al is dit principe zelf nogal eenvoudig, je kunt het soms op een zeer verrassende manier inzetten om de meest ingewikkelde opgaven op te lossen. In de lezing staat een aantal van zulke ‘gezond-verstand-technieken’ centraal. Om u een voorproefje te geven, nodig ik u uit om zich alvast in de volgende drie problemen te verdiepen. We zullen tijdens de lezing van elk van deze opgaven een even simpele als geniale oplossing bekijken. 1. In een rij van tien bomen zitten tien spreeuwen, in elke boom één. Op het moment dat een spreeuw een willekeurig aantal k bomen naar rechts vliegt, vliegt een andere spreeuw k bomen naar links. Kunnen alle spreeuwen uiteindelijk in één boom terecht komen? 2. Gegeven zijn 2n punten in het vlak, geen drie hiervan op één lijn. De helft van deze punten stelt boerderijen voor, de andere helft waterputten. Bewijs dat het mogelijk is om elke boerderij door middel van een kaarsrechte weg zodanig met een unieke waterput te verbinden, dat al deze n verbindingswegen elkaar niet snijden. 3. Van 16 tot 24 juli 2011 vindt in Nederland de Internationale Wiskunde Olympiade plaats. Bewijs dat er een veelvoud van 2011 is dat alleen maar uit enen bestaat (in decimale notatie).