The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition

E.F. Aidékon

Research output: Book/ReportReportAcademic

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Abstract

Summary. We consider a Galton-Watson tree with offspring distribution $\nu$ of finite mean. The uniform measure on the boundary of the tree is obtained by putting mass 1 on each vertex of the n-th generation and taking the limit $n \rightarrow \infty$. In the $E[\nu \ln(\nu)] <\infty$, this measure has been well studied, and it is known that the Hausdorff dimension of the measure is equal to $\ln(m)$ ([2], [9]). $E[\nu \ln(\nu)] = \infty$, we show that the dimension drops to 0. This answers a question of Lyons, Pemantle and Peres [10]. Résumé. Nous considérons un arbre de Galton-Watson dont le nombre d'enfants $\nu$ a une moyenne finie. La mesure uniforme sur la frontière de l'arbre s'obtient en chargeant chaque sommet de la n-ième génération avec une masse 1, puis en prenant la limite $n \rightarrow \infty$. Dans le cas $E[\nu \ln(\nu)] <\infty$, cette mesure a été très étudiée, et l'on sait que la dimension de Hausdorff de la mesure est égale à $\ln(m)$ ([2], [9]). Lorsque $E[\nu \ln(\nu)] = \infty$, nous montrons que la dimension est 0. Cela répond à une question posée par Lyons, Pemantle et Peres [10]. Keywords: Galton-Watson tree, Hausdorff dimension.
Original languageEnglish
Place of PublicationEindhoven
PublisherEurandom
Publication statusPublished - 2011

Publication series

NameReport Eurandom
Volume2011015
ISSN (Print)1389-2355

Fingerprint

Galton-Watson Tree
Hausdorff Dimension
Vertex of a graph

Cite this

Aidékon, E. F. (2011). The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition. (Report Eurandom; Vol. 2011015). Eindhoven: Eurandom.
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Aidékon, EF 2011, The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition. Report Eurandom, vol. 2011015, Eurandom, Eindhoven.

The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition. / Aidékon, E.F.

Eindhoven : Eurandom, 2011. (Report Eurandom; Vol. 2011015).

Research output: Book/ReportReportAcademic

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T1 - The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition

AU - Aidékon, E.F.

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N2 - Summary. We consider a Galton-Watson tree with offspring distribution $\nu$ of finite mean. The uniform measure on the boundary of the tree is obtained by putting mass 1 on each vertex of the n-th generation and taking the limit $n \rightarrow \infty$. In the $E[\nu \ln(\nu)] <\infty$, this measure has been well studied, and it is known that the Hausdorff dimension of the measure is equal to $\ln(m)$ ([2], [9]). $E[\nu \ln(\nu)] = \infty$, we show that the dimension drops to 0. This answers a question of Lyons, Pemantle and Peres [10]. Résumé. Nous considérons un arbre de Galton-Watson dont le nombre d'enfants $\nu$ a une moyenne finie. La mesure uniforme sur la frontière de l'arbre s'obtient en chargeant chaque sommet de la n-ième génération avec une masse 1, puis en prenant la limite $n \rightarrow \infty$. Dans le cas $E[\nu \ln(\nu)] <\infty$, cette mesure a été très étudiée, et l'on sait que la dimension de Hausdorff de la mesure est égale à $\ln(m)$ ([2], [9]). Lorsque $E[\nu \ln(\nu)] = \infty$, nous montrons que la dimension est 0. Cela répond à une question posée par Lyons, Pemantle et Peres [10]. Keywords: Galton-Watson tree, Hausdorff dimension.

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M3 - Report

T3 - Report Eurandom

BT - The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition

PB - Eurandom

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Aidékon EF. The uniform measure on a Galton-Watson tree without the XlogX condition. Eindhoven: Eurandom, 2011. (Report Eurandom).