Een constructie van k-dimensionale tooverkuben

Analog dem magischen Quadrat von $n$ Reihen und $n$ Spalten in der Ebene definiert Verf. einen $k$-dimensionalen magischen W�rfel der Ordnung $n$. Jede Stelle in diesem $k$-dimensionalen Schema ist durch $k$ aus den Zahlen $0, 1, 2,\dots, n - 1$ gew„hlte und in eine bestimmte Reihenfolge gebrachte Zahlen $a_1, a_2, \dots, a_k$ bestimmt. Es wird gefragt, ob es m"glich ist, jeder solchen Reihenfolge, d. h. jeder Stelle in dem W�rfelschema, eine der nat�rlichen Zahlen $1, 2,\dots, n%5Ek$, die mit $G(a_1,a_2,\dots,a_k)$ bezeichnet wird, derart zuzuordnen, daá A. jede nat�rliche Zahl $\leqq n%5Ek$ genau einmal unter den Zahlen $G$ vorkommt und B. f�r jedes $i$($1 \leqq i \leqq k$) die Summe $\sum\limits_{a_i = 0}%5E{n-1} G(a_1, a_2, \dots, a_i, \dots, a_k)$ denselben Wert besitzt. Diese Summation ist so zu verstehen: Alle in der Klammer vorkommenden $a_s$ auáer dem an $n$-ter Stelle stehenden $a_i$ bleiben konstant, dieses Glied $a_i$ aber durchl„uft die Werte $0, 1, 2,\dots, n - 1$. Verf. gibt eine Konstruktion eines solchen magischen W�rfels an f�r den Fall, daá $k$ eine beliebige und $n$ eine ungerade nat�rliche Zahl ($> 1$) ist. -- Ref. weist darauf hin, daá der Fall $k = 3$ laut {\it H. Schubert}, Mathematische Muáestunden, 6. Aufl., neubearb. von {\it F. Fitting} (1940; F. d. M. 66, 36), S. 157-159, seit {\it Kochanski} (1686) mehrfach behandelt worden ist. (Data of JFM: JFM 67.0119.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)