Dispersion of inertial particles in stratified turbulence

Er zijn veel situaties waarin het van belang is om te weten hoe deeltjes zich verspreiden in onze natuurlijke omgeving. Te denken valt hierbij aan fijnstof of stuifmeel in de lucht, of aan algen en zand in rivieren, meren en kustgebieden. In het eerste geval zijn de deeltjes veel zwaarder dan de lucht, dit scheelt gauw een factor 1000, maar in het tweede geval is de dichtheid van de deeltjes ongeveer gelijk aan die van het omringende water. Beide typen deeltjes, zware en lichte deeltjes genaamd, worden bestudeerd in dit proefschrift. Bovendien bestuderen we de verspreiding van zogenaamde vloeistofdeeltjes in turbulente stromingen. Deze vloeistofdeeltjes hebben geen eigen massa en volume, het zijn oneindig kleine vloeistofelementjes. De resultaten van deze vloeistofdeeltjes kunnen als benadering gebruikt worden voor het gedrag van kleine lichte deeltjes, zoals microorganismen in water. In dit proefschrift bestuderen we twee soorten stromingen; isotrope turbulentie en stabiel gestratificeerde turbulentie. Isotrope turbulentie gedraagt zich hetzelfde in alle richtingen, en dit type stroming kom je bijvoorbeeld tegen in een badkuip, ver van de wanden, waarin je in alle richtingen heftig roert. In stabiel gestratificeerde turbulentie is een dichtheidsgradiënt aanwezig; gemiddeld bevindt lichtere vloeistof zich boven zwaardere vloeistof. Een sterk gestratificeerde stroming vertoont een gelaagde structuur. In het horizontale vlak bevinden zich grootschalige, wervelachtige structuren, die ook wel worden aangeduid als pannenkoekachtige structuren. In de verticale richting is er een sterke wrijving tussen de verschillende lagen (zie figuren 4.4 en 4.5). Het onderzoek is uitgevoerd door middel van Directe Numerieke Simulaties (DNS). Op de supercomputers Aster en Huygens bij SARA in Amsterdam zijn de Navier-Stokes vergelijkingen opgelost, die de stroming van een vloeistof volledig beschrijven. Bovendien is er een vergelijking toegevoegd aan de numerieke code die de beweging van individuele deeltjes in een vloeistof beschrijft, de Maxey-Riley vergelijking. De lichte en zware deeltjes bezitten een zekere mate van traagheid, of inertie. Een maat voor deze traagheid is het Stokes getal St, waarin onder andere de dichtheid en de diameter van het deeltje zijn opgenomen en de viscositeit (stroperigheid) van de vloeistof. Deeltjes met een klein Stokes getal gedragen zich alsof ze vloeistofdeeltjes zijn, en zij reageren vrijwel instantaan op veranderingen in de vloeistofsnelheid om hen heen. Hoe groter St, hoe trager een deeltje reageert op deze veranderingen en hoe meer het de neiging heeft om zijn eigen baan te vervolgen. De drie belangrijkste onderwerpen die in dit proefschrift besproken worden zijn deeltjesdispersie, preferentiële concentratie en de krachten die op de deeltjes werken. Met dispersie zal in het vervolg het gemiddelde kwadraat van de verplaatsing van de deeltjes ten opzichte van hun beginpositie bedoeld worden. Dit kun je zien als de groei van een wolk met deeltjes in het geval dat de deeltjes allemaal losgelaten worden op hetzelfde punt. Voor korte tijden bewegen de deeltjes rechtdoor, hun kwadratische verplaatsing schaalt daarom met t2 (t is de tijd). Dit regime wordt ook wel ballistisch genoemd. Voor langere tijden is het dispersiegedrag afhankelijk van zowel het type stroming als van het type deeltje. In isotrope turbulentie schaalt het dispersiegedrag voor lange tijden met t, zowel voor vloeistofdeeltjes als voor lichte en zware deeltjes (zie figuur 3.8). Dit zogenaamde diffusieve gedrag wordt veroorzaakt doordat de deeltjes na verloop van tijd ongecorreleerd raken van hun beginpositie, vergelijkbaar met Brownse beweging. In stabiel gestratificeerde turbulentie is er een duidelijk onderscheid te maken tussen de dispersie in de horizontale richting en in de verticale richting. In de horizontale richting zie je voor alle drie de deeltjestypen dat de dispersie groter is dan in isotrope turbulentie. Ook voor lange tijden schaalt de dispersie nu met t2 (zie figuur 4.12(a)). Deze toegenomen dispersie is het resultaat van de sterke schuifspanning die aanwezig is tussen de verschillende lagen in de gestratificeerde turbulente stroming. In de verticale richting wordt de dispersie van vloeistofdeeltjes onderdrukt door de stratificatie. Een vloeistofdeeltje dat in verticale richting verplaatst wordt, komt in een omgeving terecht met een dichtheid die anders is dan zijn eigen dichtheid. Als het deeltje naar boven gaat bijvoorbeeld is het zwaarder dan de vloeistof om hem heen. Er werkt dan een kracht op het vloeistofdeeltje waardoor het terugbeweegt naar zijn beginhoogte. Dit resulteert in een oscillerende beweging rond een evenwichtsniveau. In een grafiek van de kwadratische verplaatsing als functie van de tijd zie je een plateau optreden, de dispersie bereikt een constante waarde. Tijdens zijn oscillerende beweging wisselt een vloeistofdeeltje continu vloeistof uit met vloeistof uit omringende elementjes door middel van moleculaire diffusie. Daardoor zal de dichtheid van het vloeistofdeeltje in de loop van tijd enigszins veranderen. Bij deze nieuwe dichtheid hoort ook een nieuwe evenwichtshoogte en voor lange tijden neemt de dispersie daarom weer toe. Het schalingsgedrag wordt weer evenredig met t, en de oorzaak hiervan is nu letterlijk diffusief (zie figuur 4.12(b)). Wanneer deeltjes massa en volume hebben, zoals in praktische toepassingen, dan zullen ze minder gevoelig zijn voor de terugwerkende kracht van de vloeistof. Hoe groter de traagheid van een deeltje, hoe meer het deeltje de neiging heeft om zijn huidige beweging voort te zetten. De dispersiegrafiek zal daarom veranderen. Met toenemende traagheid neemt de vorming van het plateau af en neemt de dispersie voor lange tijden toe (zie figuur 5.5).